第 184 章 奇妙的万能公式

新的一天，阳光洒在学堂的窗棂上，戴浩文再次精神抖擞地站在讲台前，准备向学子们传授新的知识——三角函数的万能公式。

“诸位学子，今日咱们要一同探索三角函数中奇妙的万能公式。”戴浩文微笑着开场。

学子们眼中充满好奇，纷纷挺直了身子，准备聆听。

戴浩文拿起粉笔，先画了一个直角三角形，“咱们先从这个特殊的直角三角形说起，假设 t = tan（α/2），那么这个直角三角形的三边分别为斜边 1 + t2，直角边为 1 - t2和 2t 。”

接着，他在黑板上写下：“sinα = 2tanα/2 / 1 + tan2α/2 ，cosα = 1 - tan2α/2 / 1 + tan2α/2 ，tanα = 2tanα/2 / 1 - tan2α/2 。”

他放下粉笔，看着学子们问道：“大家先看看这几组公式，有何想法？”

一位名叫孙宇的学子率先发言：“先生，这公式看起来甚是复杂，不知从何入手理解。”

戴浩文笑了笑说：“莫急，孙宇。咱们先从最简单的开始。大家想想，tan 函数是什么？”

另一位学子李华回答道：“先生，tan 函数是正弦与余弦的比值。”

戴浩文点头：“不错。那咱们就从这个角度来理解万能公式。咱们还是借助刚刚这个直角三角形，通过三边的关系来推导万能公式。”

他接着说道：“咱们先看 sinα 的万能公式，2tanα/2 就是 2t ，而 1 + tan2α/2 就是 1 + t2 ，通过这样的关系和化简，就能得到 sinα 。”

学子们听得入神，戴浩文继续讲解：“那再看 cosα 的万能公式，同样利用这个直角三角形三边的关系进行化简，就能得出。”

这时，有学子问道：“先生，这万能公式有何特别之处，为何叫万能公式呢？”

戴浩文回答道：“问得好！这万能公式的妙处就在于，无论给定的是角度还是正切值，都能通过它求出正弦和余弦的值。”

一位名叫周悦的女学子又问：“先生，那在实际解题中如何运用呢？”

戴浩文说：“周悦这个问题很关键。比如，若已知 tanα 的值，要求 sinα 和 cosα ，就可以直接用万能公式。”

他在黑板上写下一道例题：“已知 tanα = 3/4 ，求 sinα 和 cosα 。”

戴浩文看着学子们说：“大家先思考一下，该如何求解。”

片刻后，戴浩文开始讲解：“我们先求出 tanα/2 ，然后代入万能公式。”

讲解完例题，戴浩文问道：“大家可明白了？”

学子们有的点头，有的仍面露困惑。

戴浩文耐心地说：“没明白的同学不要着急，咱们再看一道题。”

他又写下一道新的例题，一步一步详细地讲解。

在讲解过程中，不断有学子提出问题，戴浩文都一一耐心解答。

“先生，要是角度不是特殊值，这万能公式是不是更有用？”

“先生，万能公式能用于证明其他的三角函数等式吗？”

戴浩文笑着回答：“同学们的问题都很有深度。对于不是特殊值的角度，万能公式确实能发挥很大作用。至于证明其他等式，当然可以，只要灵活运用。”

课程进行了大半，戴浩文让学子们自己动手做几道练习题，巩固所学知识。

学子们认真做题，戴浩文在教室里巡视，不时给予指导。