第 200 章 导数的应用实例

经过前面对于导数知识的系统学习，学子们已经掌握了常见函数的导数计算方法。这一天，戴浩文决定通过具体的应用题，让学子们更加深入地理解导数的实际应用。

戴浩文站在讲堂上，目光中充满期待地看着学子们，说道：“同学们，咱们已经学习了不少导数的知识，今天咱们就来看看这些知识在实际问题中的神奇作用。”

他转身在黑板上写下一道题目：“假设有一物体沿着直线运动，其位移与时间的关系为 s = t3 - 6t2 + 9t + 5，求在 t = 2 时的瞬时速度。”

写完题目，戴浩文问道：“谁能来说说这道题该怎么入手？”

一位学子站起来回答：“先生，我们需要先求出位移函数的导数，导数就是速度函数。”

戴浩文满意地点点头：“不错，那咱们一起来求一下。”

经过一番计算，得出速度函数 v = 3t2 - 12t + 9 。

戴浩文接着问：“那 t = 2 时的速度是多少呢？”

学子们纷纷动笔计算，不一会儿，就有声音回答：“是 -3 。”

戴浩文笑着说：“很好，那咱们再来看下一道题。”

他又在黑板上写下：“一个工厂生产某种产品，其成本函数为 C = 2x2 + 5x + 100，产量为 x 件。当产量为 10 件时，求边际成本。”

看到学子们面露难色，戴浩文提示道：“大家想想，边际成本是什么和导数的关系？”

一位学子恍然大悟：“先生，边际成本就是成本函数的导数！”

戴浩文赞许地说：“对！那咱们来求一下导数。”

经过计算，成本函数的导数为 C' = 4x + 5 。

戴浩文问道：“那当 x = 10 时，边际成本是多少？”

学子们很快算出答案：“45 。”

戴浩文继续出题：“现在有一个矩形，其周长为 20 ，设长为 x ，面积为 y ，求面积最大时矩形的长和宽。”

学子们开始分组讨论，教室里响起了热烈的讨论声。

过了一会儿，一组代表发言：“先生，我们设宽为 10 - x ，面积 y = x10 - x ，然后求导找极值。”

戴浩文鼓励道：“非常好，那咱们来求导看看。”

一番计算后，得出导数为 10 - 2x ，令其等于 0 ，解得 x = 5 。

戴浩文总结道：“所以当长和宽都为 5 时，面积最大。大家明白了吗？”

学子们齐声回答：“明白了！”

“那咱们再来看这道题。”戴浩文又写道：“已知某商品的需求函数为 Q = 20 - 2P ，其中 Q 为需求量，P 为价格。求价格为 5 时的需求弹性。”

这次学子们思考的时间更长了，戴浩文在教室里走动，不时听听各个小组的讨论，给予一些指导。

终于，有学子算出了结果：“先生，是 -2/3 。”

戴浩文点头：“很棒！那咱们来回顾一下这几道题，大家说说在解决这些问题时有什么心得？”

一位学子站起来说：“要先根据题目建立函数关系，然后求导。”

另一位学子补充道：“还要注意题目中的条件和要求，找到关键的点。”

戴浩文微笑着说：“大家总结得都很好。接下来，咱们再看几道更复杂的题目。”

他在黑板上写下：“一个半径为 r 的圆，其面积随半径的变化而变化，求半径为 5 时面积