展开式。”

戴浩文一步一步地引导学子们进行推导，从函数的导数计算，到各项系数的确定，每一个步骤都讲解得清晰透彻。

“首先，计算 cosx 的一阶导数为 -sinx ，二阶导数为 -cosx ，三阶导数为 sinx ，四阶导数为 cosx ...... 由此可见，其导数具有周期性。”

学子们紧紧跟随戴浩文的思路，眼睛紧盯着黑板，生怕错过任何一个细节。

“然后，我们将函数在 x = 0 处进行展开。因为 cos0 = 1 ， -sin0 = 0 ， -cos0 = -1 ， sin0 = 0 ...... 所以 cosx 的泰勒展开式为 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! +... ”

戴浩文讲完后，问道：“诸位可明白了？”

学子们有的点头，有的仍面露困惑。

戴浩文说道：“未明者莫急，吾再讲一遍。”

他不厌其烦地又重复了一遍推导过程，直到所有学子都露出恍然大悟的神情。

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接下来，戴浩文又给出了一些练习题，让学子们自己尝试运用泰勒展开式进行计算。

“计算 fx = ln1 + x 在 x = 0 处的泰勒展开式。”

“求 fx = √1 + x 的泰勒展开式。”

学子们埋头苦思，认真计算。戴浩文则在一旁耐心地等待，随时准备为有需要的学子提供帮助。

过了一会儿，戴浩文开始查看学子们的练习情况。

“李华，这里的系数计算有误，应再仔细检查一下导数的计算。”

“赵婷，思路正确，但在化简过程中要注意运算规则。”

在戴浩文的指导下，学子们逐渐掌握了泰勒展开式的计算方法。

戴浩文说道：“泰勒展开式不仅可用于计算函数的近似值，还能帮助我们分析函数的性质。例如，通过观察泰勒展开式的各项系数，我们可以了解函数的增减性、凹凸性等。”

他在黑板上画出函数图像，结合泰勒展开式进行分析，让学子们更加直观地感受到数学的奇妙。

“今有一函数 fx = 1 + x^α ，其中α为实数，试推导其泰勒展开式。”戴浩文又抛出一个新的问题。

学子们陷入了沉思，纷纷尝试着进行推导。

王强率先说道：“先生，可否先求出其导数，然后在 x = 0 处展开？”

戴浩文点头道：“王强之思路可行，诸位可依此尝试。”

经过一番努力，学子们终于推导出了该函数的泰勒展开式。

戴浩文满意地说道：“甚好。通过今日之学习，想必尔等对泰勒展开式已有一定之了解。然学无止境，课后还需多加练习，方能熟练运用。”

学子们齐声应道：“谨遵先生教诲。”

随着课程的深入，戴浩文又为学子们讲解了泰勒展开式的误差估计。

“在运用泰勒展开式进行近似计算时，我们需对误差进行估计，以确保计算结果的准确性。”戴浩文说道。

他在黑板上写下误差估计的公式，并通过实例进行详细的解释。

“例如，对于函数 fx = e^x ，若我们取其泰勒展开式的前 n 项进行近似计算，误差 Rnx 可表示为...... ”

学子们认真聆听，不时做着笔记。

戴浩文接着说道：“误差估计在实际应用中至关重要。若误差过大，可能导致计算结果失去意义。”

为了让学子们更好地掌握误差估计，戴浩文又布置